Question

（2003•南通）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直線為x軸．以B點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．將平行四邊形ABCD繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)落在y軸的正半軸上，C、D、A三點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的位置分別是P、Q和T三點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)D在y軸上；
（2）若直線y=kx+b經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，求直線PQ的解析式；
（3）將平行四邊形PQTB沿y軸的正半軸向上平行移動(dòng)，得平行四邊形P′Q′T′B′，Q、T、B依次與點(diǎn)P′、Q′、T′、B′對(duì)應(yīng)）．設(shè)BB′=m（0＜m≤3）．平行四邊形P′Q′T′B′與原平行四邊形ABCD重疊部分的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AB、BD、AD的長(zhǎng)，不難得出三角形ABD為直角三角形．由于A、B在x軸上，且B為原點(diǎn)，因此D必在y軸上；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)易求出，關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可過Q作QH⊥y軸于H，那么可在直角三角形PQH中，根據(jù)PQ的長(zhǎng)和∠QPB的三角函數(shù)值（∠QPB=∠DAB），求出PH，QH的長(zhǎng)，即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式．
（3）當(dāng)0＜m≤3，B'在線段BD上，此時(shí)重合部分是個(gè)五邊形．設(shè)TB'與x軸的交點(diǎn)為M，AD與Q'T的交點(diǎn)為F，那么重合部分的面積可用梯形EFDB的面積-三角形EBB'的面積來求得．
梯形的上底可用AE的長(zhǎng)和∠DAB的正切值求出（AE的長(zhǎng)為A點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值與Q點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值的差），同理可在直角三角形BB′M中求出BM的長(zhǎng)，由此可求出S、m的函數(shù)關(guān)系式．
解答：（1）證明：∵AB²+BD²=3²+4²=5²=AD²
∴△ABD為直角三角形，且AB⊥BD．
由于x軸⊥y軸，AB在x軸上，且B為原點(diǎn)，因此點(diǎn)D在y軸上．

（2）解：顯然，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB．
過Q點(diǎn)作QH⊥BD，垂足為H．
在Rt△PQH中，QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×=．
PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×=．
BH=PB-PH=5-=．
∴Q（-，）．
∵直線過P、Q兩點(diǎn)．
∴，解得．
∴直線PQ的解析式為y=x+5．

（3）解：設(shè)B′T′與AB交于點(diǎn)M，Q′T′交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．
∵0＜m≤3，∴S=S_梯形BDFE-S_△BB′M．
由（2）可知，BE=QH=．
∴AE=AB-BE=4-=．
∴EF=AE•tan∠DAB=×=．
∴S_梯形BDFE=（EF+BD）•BE=×（+3）×=．
又ET′∥BB′，∴∠MB′B=∠T′=∠DAB．
∴BM=BB′•tan∠MBB=m•tan∠DAB=m．
∴S_△BB'M=BM•BB′=×m×m=m²．
∴S=-m²（0＜m≤3）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、圖形的翻轉(zhuǎn)變換、圖形面積的求法以及一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，難度較大．