Question

如圖，已知A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16厘米，AD=6厘米．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止．問：
（1）兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過幾秒時(shí)，使得BP=CQ；
（2）兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過幾秒時(shí)，使得四邊形PBCQ面積是矩形ABCD面積的

5

12

；
（3）連接BQ，兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過幾秒，使得△BQP是等腰三角形（直接寫出答案）．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）等量關(guān)系為：AB-AP=CQ，即16-2t=t；
（2）四邊形PBCQ為直角梯形，則有直角梯形的面積公式求得動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）需要分類討論：BP=QP，BP=BQ和QP=BQ三種情況．

解答：解：（1）設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過t秒時(shí)，使得BP=CQ．
則16-2t=t，
解得 t=

16

3

．
答：兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過

16

3

秒時(shí)，使得BP=CQ；

（2）設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過x秒時(shí)，使得四邊形PBCQ面積是矩形ABCD面積的

5

12

．則

1

2

（CQ+BP）•BC=

5

12

AB•AD，即

1

2

×（x+16-2x）×6=

5

12

×16×6，
解得 x=

8

3

．
答：兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過

8

3

秒時(shí)，使得四邊形PBCQ面積是矩形ABCD面積的

5

12

；

（3）兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形
①當(dāng)BP=QP時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥BP于點(diǎn)H．
則PQ=

(BP-CQ)2+HQ2

，
所以 16-2k=

(16-2k-k)2+62

，
整理 得5k²-32k+36=0，
解得 k₁=

16+2 19

5

，k₂=

16-2 19

5

；
②當(dāng)BP=BQ時(shí)，BQ=

BC2+CQ2

．
則16-2k=

62+k2

，
整理 得3k²-64k+220=0．
該方程無解；
③當(dāng)QP=BQ時(shí)，

(BP-CQ)2+HQ2

=

BC2+CQ2

，即

(16-2k-k)2+62

=

62+k2

，
整理 得，（16-3k）²=k²，
解得 k₃=4，k₄=8（與點(diǎn)B重合，舍去）．
綜上所述，當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過

16+2 19

5

秒或

16-2 19

5

秒或4秒時(shí)，使得△BQP是等腰三角形

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解或錯(cuò)解．