Question

已知等腰△ABC，AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在射線AB，射線AC，射線AD上，且∠EPF+∠BAC=180°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，探究線段PE和PF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AD延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍成立？（直接寫出結(jié)論，不需證明）
（3）如圖3，當(dāng)E與B重合時(shí)，過F任作一射線FN，在射線FN上取一點(diǎn)M，使∠BMF=∠BPF，連結(jié)PM，探究∠PMF與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）在AB上取點(diǎn)G，使AG=AF，連接DG，由等腰三角形的性質(zhì)證明△AGD≌△AFD就可以得出結(jié)論；
（2）在AC上取點(diǎn)G，使AG=AE，連接PG，由等腰三角形的性質(zhì)證明△AEP≌△AGP就可以得出結(jié)論；
（3）連接PC，BF，由中垂線的性質(zhì)就可以得出PC=PB，就可以得出△ABP≌△ACP，就可以得出PC=PF，根據(jù)∠BMF=∠BPF，就可以得出B、M、P、F四點(diǎn)共圓，就可以得出∠PMF=∠PBF，得出∠PBF+∠PFB=∠BAC，就可以得出∠BAC=2∠PBF，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）在AB上取點(diǎn)G，使AG=AF，連接DG，
∵AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AGD和△AFD中

AG=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AGD≌△AFD（SAS），
∴GD=FD，∠AGD=∠AFD．
∵∠BAC+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°，且∠EPF+∠BAC=180°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴∠AED+∠AGD=180°．
∵∠AGD+∠EGD=180°，
∴∠AED=∠EGD，
∴ED=GD，
∴EP=FP；

（2）EP=FP成立
理由：在AC上取點(diǎn)G，使AG=AE，連接PG，
∵AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AEP和△AGP中

AE=AG ∠BAD=∠CAD AP=AP

，
∴△AEP≌△AGP（SAS），
∴EP=GP，∠AEP=∠AGP．
∵∠BAC+∠AEP+∠EPF+∠AFP=360°，且∠EPF+∠BAC=180°，
∴∠AEP+∠AFP=180°，
∴∠AGP+∠AFP=180°．
∵∠AGP+∠FGP=180°，
∴∠AFP=∠EGP，
∴PG=PF，
∴EP=FP；

（3）連接PC，BF，
∵AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴PB=PC．
在△ABP和△ACP中，

AB=AC PB=PC AP=AP

，
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠ABP=∠ACP．
∵∠BAC+∠ABP+∠BPF+∠AFP=360°，且∠BPF+∠BAC=180°，
∴∠ABP+∠AFP=180°，
∴∠ACP+∠AFP=180°．
∵∠ACP+∠FCP=180°，
∴∠AFP=∠FCP，
∴PC=PF，
∴PC=PF=PB．
∴∠PBF=∠PFB．
∵∠PBF+∠PFB+∠BPF=180°，∠BPF+∠BAC=180°，
∴∠PBF+∠PFB=∠BAC．
∴2∠PBF=∠BAC．
∵∠BMF=∠BPF，
∴B、M、P、F四點(diǎn)共圓，
∴∠PMF=∠PBF．
∴2∠PMF=∠BAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，四點(diǎn)共圓的旋轉(zhuǎn)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．