Question

如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB＞AC，D為

BAC

的中點，DE⊥AB于E，求證：BD²-AD²=AB•AC．

Answer 1

分析：在BA上截取BF=CA，連DF，DC，由D為

BAC

的中點，根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE-EF=BE-AE=CA，因此BD²-AD²=BE²-AE²=（BE+AE）（BE-AE）=AB•AC．

解答：證明：在BA上截取BF=CA，連DF，DC，如圖，
∵D為

BAC

的中點，
∴DB=DC，
又∵∠DBF=∠ACD，
∴△DBF≌△DCA，
∴DF=DA，
而DE⊥AB，
∴AE=EF，
∴BF=BE-EF=BE-AE=CA，
又∵BD²=BE²+DE²，AD²=AE²+DE²，
∴BD²-AD²=BE²-AE²=（BE+AE）（BE-AE）=AB•AC，即證．

點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．