Question

如圖，拋物線y=

1

2

x2-

3

2

x-9與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC．
（1）求AB和OC的長；
（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)E作直線l平行BC，交AC于點(diǎn)D．設(shè)AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線解析式，可求出A、B、C的坐標(biāo)，繼而可得出AB和OC的長；
（2）根據(jù)ED∥BC，可判斷△AED∽△ABC，再由相似三角形的面積比等于相似比平方，可得出s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意可得m的取值范圍；
（3）根據(jù)S_△EDC=S_△AEC-S_△AED，可得△CDE的面積關(guān)于m的表達(dá)式，利用配方法可求出△CDE面積的最大值．

解答：解：（1）在y=

1

2

x2-

3

2

x-9中，
令x=0，得y=-9，
∴C（0，-9）；
令y=0，即

1

2

x2-

3

2

x-9=0，
解得：x₁=-3，x₂=6，
∴A（-3，0）、B（6，0），
∴AB=9，OC=9．

（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

S△AED

S△ABC

=(

AE

AB

)2，即：

s

1 2 •9•9

=(

m

9

)2，
∴s=

1

2

m²（0＜m＜9）．

（3）∵S_△AEC=

1

2

AE•OC=

9

2

m，S_△AED=s=

1

2

m²，
∴S_△EDC=S_△AEC-S_△AED=-

1

2

m²+

9

2

m=-

1

2

（m-

9

2

）²+

81

8

，
當(dāng)m=

9

2

時(shí)，S_△EDC取得最大，最大值為

81

8

．
故△CDE的最大面積為

81

8

，

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、配方法求二次函數(shù)最值，解答本題需要扎實(shí)的掌握基礎(chǔ)知識，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，難度較大．