Question

若3⁷可以寫成k個(gè)連續(xù)的正整數(shù)之和，則k的最大值為（ ）
A．65
B．64
C．54
D．27

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意設(shè)3⁷=a+1+a+2+…+a+k，然后分情況討論k的奇偶性，然后得出k的最大值．
解答：解：設(shè)3⁷=a+1+a+2+…+a+k=ak+．
若k是奇數(shù)，則設(shè)k=3^t
a+=3^7-t，要使k最大，也就是t最大，并且a是非負(fù)整數(shù)，
由于3^7-t=a+＞3^t-1，所以7-t＞t-1，t＜4，故t≤3．
這時(shí)k最大為3³=27，相應(yīng)的a=67．
若k是偶數(shù)，則設(shè)k=2×3^t
2a+2×3^t+1=3^7-t，要使k最大，也就是t最大，并且a是非負(fù)整數(shù)，
由于3^7-t=2a+2×3^t+1＞3^t，所以7-t＞t，t＜3.5，故t≤3．
這時(shí)k最大為2×3³=54，相應(yīng)的a=13．綜上可知k最大值為54．
故選：C．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)的整除性問題，根據(jù)題意當(dāng)k為奇數(shù)，只有設(shè)k=3^t，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，只有設(shè)k=2×3^t．