Question

閱讀理解：
對于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，
∴a+b≥2

ab

，只有當(dāng)a=b時，等號成立．
結(jié)論：在a+b≥2

ab

（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，只有當(dāng)a=b時，a+b有最小值2

p

．
（1）根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
若m＞0，只有當(dāng)m=

1

時，m+

1

m

有最小值

2

．
（2）探索應(yīng)用：如圖，已知A（-3，0），B（0，-4），P為雙曲線y=

12

x

（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D．求四邊形ABCD面積的最小值．
（3）判斷此時四邊形ABCD的形狀，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知a+b≥2

ab

（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，只有當(dāng)a=b時，a+b有最小值2

p

，直接代入求出即可；
（2）利用S_{四邊形ABCD}=S_△ADC+S_△ABC，得出四邊形與x之間的關(guān)系式，進(jìn)而利用x+

9

x

≥2

x• 9 x

=2

9

=6，得出四邊形最值即可；
（3）利用（2）中結(jié)論，以及勾股定理得出AB=BC=CD=AD，即可得出四邊形ABCD是菱形．

解答：解：（1）∵a+b≥2

ab

（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，只有當(dāng)a=b時，a+b有最小值2

p

．
∴m+

1

m

≥2

m• 1 m

，
∴m+

1

m

≥2，
當(dāng)m=

1

m

時，
解得：m=1或-1（不合題意舍去），
故當(dāng)m=1（填

1

m

不扣分），最小值是2；

（2）探索應(yīng)用：
∵P為雙曲線y=

12

x

（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，
∴不妨可設(shè)p（x，

12

x

），
則C（x，0），D（0，

12

x

）
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ADC+S_△ABC
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC×OD+

1

2

AC×OB，
=

1

2

AC•（OD+OB）
=

1

2

（|x_A|+|x_C|）•（|y_D|+|y_B|）
=

1

2

（3+x）•（

12

x

+4）
=

18

x

+2x+12
=2(x+

9

x

)+12，
又∵x＞0，

9

x

＞0，
∴由閱讀理解中的結(jié)論可知：x+

9

x

≥2

x• 9 x

=2

9

=6，
所以當(dāng)x=

9

x

(x＞0)時，
即當(dāng)x=3時，S_{四邊形ABCD}有最小值，S_{四邊形ABCD的最小值}=2×6+12=24；

（3）此時四邊形ABCD是菱形．
理由如下：
由（2）可知：當(dāng)x=3時，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，4），
∴AB=

32+42

=5，BC=

32+42

=5，CD=

32+42

=5，DA=

32+42

=5，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形．（四條邊相等的四邊形是菱形）．
另解：證OA=OC=3  OD=OB=4 得四邊形ABCD是平行四邊形，
再由AC⊥BD知平行四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．
故答案為：1，2．

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)最值問題以及菱形的判定和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識，利用閱讀材料得出x+

9

x

≥6是解題關(guān)鍵．