Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，∠BAC=60°，H為邊AC，AB上的高BD，CE的交點，在BD上取點M，使BM=CH．
（1）求證：∠BOC=∠BHC；
（2）求證：△BOM≌△COH；
（3）求的值．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=60°，∠BOC與∠BAC為所對的圓心角和圓周角，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵BD、CE為三角形的高，
∴∠BHC=∠DHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠BOC=∠BHC；

（2）∵∠BOC=∠BHC，
∴B、O、H、C四點共圓，∠OBM=∠OCH，
∵O為△ABC的外心，
∴OB=OC，
又∵BM=CH，
∴△BOM≌△COH；

（3）作OG⊥BD，垂足為G，由（2）可知OM=OH，∠BOM=∠COH，
∴∠MOH=∠BOC=120°，∠OHG=30°，
在Rt△OHG中，
HG=OH•cos30°=OH，
∴MH=2HG=OH，
∴=．
分析：（1）已知∠BAC=60°，∠BOC與∠BAC為所對的圓心角和圓周角，根據(jù)圓周角定理可求∠BOC度數(shù)，BD、CE為三角形的高，利用互余關(guān)系可求∠BHC的度數(shù)，可得相等關(guān)系；
（2）由（1）可證B、O、H、C四點共圓，根據(jù)圓周角定理可證∠OBM=∠OCH，O為△ABC的外心，有OB=OC，已知BM=CH，可證△BOM≌△COH；
（3）作OG⊥BC，垂足為G，由（2）可知OM=OH，∠BOM=∠COH，可證∠MOH=∠BOC=120°，則∠OHG=30°，解Rt△OHG求OH與HG的關(guān)系，再根據(jù)MH=2HG求MH與OH的關(guān)系．
點評：本題考查了三角形的外接圓、四點共圓的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形等知識的綜合應(yīng)用．