Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，點Q從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動，點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度在線段BC間往返運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點D時，兩點同時停止運動．
（1）當(dāng)t=______s時，四邊形PCDQ的面積為36cm²；
（2）若以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求t的值；
（3）當(dāng)0＜t＜5時，若DQ≠DP，當(dāng)t為何值時，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵AD=8cm，BC=10cm，點Q的速度是1cm/s，點P的速度是2cm/s，
∴QD=AD-AQ=8-t，
CP=BC-AP=10-2t，
∴當(dāng)點P未到達(dá)點C時，四邊形PCDQ的面積=（8-t+10-2t）×6=36，
解得t=2；
當(dāng)點P到達(dá)點C返回時，四邊形PCDQ的面積=（8-t+2t-10）×6=36，
解得t=14秒（不符合題意，舍去）；
所以，t=2s時，四邊形PCDQ的面積為36cm²；

（2）①P未到達(dá)C點時，
∵四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴8-t=10-2t，
解得t=2；
②P到達(dá)C點并返回時，
∵四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴8-t=2t-10，
解得t=6，
綜上所述，以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，t的值是2或6；

（3）①如圖，若PQ=PD，過P作PE⊥AD于E，
則QD=8-t，QE=QD=（8-t），
AE=AQ+QE=t+（8-t）=（8+t），
∵AE=BP，
∴（8+t）=2t，
解得t=；
②如圖，若QD=QP，過Q作QF⊥BC于F，
則QF=6，F(xiàn)P=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF²+FP²=QP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=，
綜上所述，當(dāng)t=或時，△DPQ是等腰三角形．
分析：（1）用t表示出QD、CP，然后利用梯形的面積公式列式進(jìn)行計算即可得解；
（2）分點P未到達(dá)點C時，點P到達(dá)點C返回時兩種情況，用t表示出QD、CP，然后根據(jù)平行四邊形對邊相等列出方程求解即可；
（3）分①PQ=PD時，過P作PE⊥AD于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)用t表示出QE，然后表示出AE，再根據(jù)AE=AP列出方程求解；
②QD=QP，過Q作QF⊥BC于F，用t表示出FP，在Rt△QPF中，利用勾股定理列出方程求解即可．
點評：本題考查了梯形的性質(zhì)，平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合題，但難度不大，作輔助線利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．