Question

已知拋物線y＝ax²－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求A、B的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)D作DH丄y軸于點(diǎn)H，若DH＝HC，求a的值和直線CD的解析式；

(3)在第(2)小題的條件下，直線CD與x軸交于點(diǎn)E，過線段OB的中點(diǎn)N作NF丄x軸，并交直線CD于點(diǎn)F，則直線NF上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到直線CD的距離等于點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)令y＝0求得x的值，從而得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)； 　　(2)令x＝0，則y＝－3a，求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b，把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出直線CD的解析式； 　　(3)設(shè)存在，作MQ⊥CD于Q，由Rt△FQM∽Rt△FNE，得＝，及可得出關(guān)于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)． 　　解答：解：(1)由y＝0得，ax2－2ax－3a＝0， 　　∵a≠0， 　　∴x2－2x－3＝0， 　　解得x1＝－1，x2＝3， 　　∴點(diǎn)A的坐標(biāo)(－1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)(3，0)； 　　(2)由y＝ax2－2ax－3a，令x＝0，得y＝－3a， 　　∴C(0，－3a)， 　　又∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a， 　　得D(1，－4a)， 　　∴DH＝1，CH＝－4a－(－3a)＝－a， 　　∴－a＝1， 　　∴a＝－1， 　　∴C(0，3)，D(1，4)， 　　設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b，把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，， 　　解得， 　　∴直線CD的解析式為y＝x＋3； 　　(3)存在． 　　由(2)得，E(－3，0)，N(－，0) 　　∴F(，)，EN＝， 　　作MQ⊥CD于Q， 　　設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M(，m)，則FM＝－m， 　　EF＝，MQ＝OM＝ 　　由題意得：Rt△FQM∽Rt△FNE， 　　∴＝， 　　整理得4m2＋36m－63＝0， 　　∴m2＋9m＝， 　　m2＋9m＋＝＋ 　　(m＋)2＝ 　　m＋＝± 　　∴m1＝，m2＝－， 　　∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1(，)，M2(，－)． 　　點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點(diǎn)有一元二次方程的解法．在求有關(guān)存在不存在問題時(shí)要注意先假設(shè)存在，再討論結(jié)果．

提示：

二次函數(shù)綜合題．