Question

如圖，點(diǎn)P為x軸正半軸上的一個點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)A，交函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作x軸的平行線，交y=于點(diǎn)C，連接AC．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時，求△ABC的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使A、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形△QAC為等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）請你連接QA和OC，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）時，△ABC的面積是否隨t的值的變化而變化？請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相等，即為1．
∵點(diǎn)A在函數(shù)y=（x＞0）的雙曲線上，
∴A點(diǎn)縱坐標(biāo)是：y_A==1，
∵點(diǎn)B在函數(shù)（x＞0）的圖象上，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是：y_B==4．
∵BC∥x軸，
∴點(diǎn)C、B的縱坐標(biāo)相等，即y_B=y_C=4．
∵點(diǎn)C在函數(shù)y=（x＞0）的雙曲線上，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)是：x_C==，
∴AB=3，BC=，
∴S_△ABC=AB•BC=×3×=，即△ABC的面積是；

（2）設(shè)Q（0，y）．由（1）知，A（1，1），C（，4）．
①當(dāng)以AC為底時，QA=QC，則=，解得，y=，即Q₁（0，）；
②當(dāng)以AQ為底時，QC=AC，即=，解得，y=4+或y=4-，即Q₂（0，4+），Q₃（0，4-）；
③當(dāng)以CQ為底時，QA=AC，即=，解得，y=，或y=，即Q₄（0，），Q₅（0，）；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是：Q₁（0，），Q₂（0，4+），Q₃（0，4-），Q₄（0，），Q₅（0，）；

（3）△ABC的面積不隨t的值的變化而變化．理由如下：
∵根據(jù)（1）中的思路，可以分別求得點(diǎn)A（t，），B（t，），C（，）．
∴AB=，BC=t，
∴△ABC的面積是．
∴△ABC的面積不會隨著t的變化而變化．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)和函數(shù)的解析式可以分別求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得三角形的面積；
（2）分類討論：①以AC為底的等腰△AOQ；②以AQ為底的等腰△AOQ；③以QC為底的等腰△AOQ；
（3）根據(jù)（1）中的方法進(jìn)行求解，看最后的結(jié)果是否為一個定值即可．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題．解答此題時要能夠根據(jù)解析式熟練地求得各個點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)計(jì)算相關(guān)線段的長度．