Question

方程x²-kx+k-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且0＜x₁＜1，2＜x₂＜3，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由于方程x²-kx+k-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且0＜x₁＜1，2＜x₂＜3，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系可畫(huà)出二次函數(shù)y=x²-kx+k-2的圖象，根據(jù)圖象得到當(dāng)x=0，y=k-2＞0；當(dāng)x=1，y=1-k+k-2＜0；當(dāng)x=2，y=4-2k+k-2＜0；當(dāng)x=3，y=9-3k+k-2＞0，求出幾個(gè)不等式解的公共部分即可得到k的取值范圍．
解答：解：∵方程x²-kx+k-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且0＜x₁＜1，2＜x₂＜3，
∴二次函數(shù)y=x²-kx+k-2如圖所示，
∴x=0，y=k-2＞0；x=1，y=1-k+k-2＜0；x=2，y=4-2k+k-2＜0；x=3，y=9-3k+k-2＞0，
而△=k²-4（k-2）=（k-2）²+4＞0，
∴2＜k＜，
即k的取值范圍為2＜k＜．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．