Question

已知：關于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數，二次函數y=ax²-bx+kc（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1．
（1）若方程①的根為正整數，求整數k的值；
（2）求代數式

(kc)2-b2+ab

akc

的值；
（3）求證：關于x的一元二次方程ax²-bx+c=0 ②必有兩個不相等的實數根．

Answer 1

分析：（1）根據一元一次方程及根的條件，求k的值．
（2）把交點坐標代入二次函數的解析式求出值．
（3）根據根的判別式和一元一次方程的根為正實數得出x有兩不相等的實數根．

解答：解：（1）由kx=x+2，
得（k-1）x=2．
依題意k-1≠0．
∴x=

2

k-1

．
∵方程的根為正整數，k為整數，
∴k-1=1或k-1=2．
∴k₁=2，k₂=3．

（2）依題意，二次函數y=ax²-bx+kc的圖象經過點（1，0），
∴0=a-b+kc，
kc=b-a，
∵已知akc≠0，
∴b-a≠0，
∴

(kc)2-b2+ab

akc

=

(b-a)2-b2+ab

a(b-a)

=

b2-2ab+a2-b2+ab

ab-a2

=

a2-ab

ab-a2

=-1，

（3）證明：方程②的判別式為△=（-b）²-4ac=b²-4ac．
由a≠0，c≠0，得ac≠0．
（i）若ac＜0，則-4ac＞0．故△=b²-4ac＞0．
此時方程②有兩個不相等的實數根．
（ii）證法一：若ac＞0，由（2）知a-b+kc=0，
故b=a+kc．
△=b²-4ac=（a+kc）²-4ac
=a²+2kac+（kc）²-4ac
=a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac
=（a-kc）²+4ac（k-1）
∵方程kx=x+2的根為正實數，
∴方程（k-1）x=2的根為正實數．
由x＞0，2＞0，得k-1＞0．
∴4ac（k-1）＞0．
∵（a-kc）²≥0，
∴△=（a-kc）²+4ac（k-1）＞0．
此時方程②有兩個不相等的實數根．
證法二：若ac＞0，
∵拋物線y=ax²-bx+kc與x軸有交點，
∴△₁=（-b）²-4akc=b²-4akc≥0．
（b²-4ac）-（b²-4akc）=4ac（k-1）．
由證法一知k-1＞0，
∴b²-4ac＞b²-4akc≥0．
∴△=b²-4ac＞0．此時方程②有兩個不相等的實數根．
綜上，方程②有兩個不相等的實數根．

點評：考查根的判別式與根的關系和二次函數圖象性質．