Question

如圖所示，△OAB是邊長(zhǎng)為2+

3

的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸的正方向上，將△OAB折疊，使點(diǎn)B落在邊OA上，記為B′，折痕為EF．
（1）設(shè)OB′的長(zhǎng)為x，△OB′E的周長(zhǎng)為C，求C關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)B′E∥y軸時(shí)，求點(diǎn)B′和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若拋物線y=-2x²+bx+c的對(duì)稱軸是直線B′E，且經(jīng)過原點(diǎn)O，求b、c的值；
（4）當(dāng)B′在OA上運(yùn)動(dòng)但不與O、A重合時(shí)，能否使△EB′F成為直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知BE=B′E，那么三角形OB′E的周長(zhǎng)就等于OB′+OB，已知等邊三角形OBA的邊長(zhǎng)，那么就可以表示出c與x的函數(shù)關(guān)系式了．
（2）當(dāng)B′E∥y軸時(shí)，EB′⊥x軸，那么本題的關(guān)鍵就是求出直角三角形OB′E的兩條直角邊，可根據(jù)OE+EB′=2+

3

，而我們還可以通過∠EOB′的正弦函數(shù)得出OE，EB′的比例關(guān)系，然后根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系可得出OE，B′E的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OB′的長(zhǎng)．也就得出了點(diǎn)B′和E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）利用拋物線y=-2x²+bx+c的對(duì)稱軸是直線B′E，且經(jīng)過原點(diǎn)O，即可得出圖象對(duì)稱軸是x=1，且經(jīng)過（0，0），分別求出即可；
（4）要想使三角形EB′F是直角三角形，已知∠EB′F=60°，那么只有∠B′EF和∠B′FE為直角，當(dāng)∠B′EF是直角時(shí)，那么∠AEF也是直角，那么A，E，B′在一條直線上，B′與O重合，那么與已知矛盾，因此不成立，同理可得出∠B′FE是直角的情況下也不成立，因此三角形EB′F不可能是直角三角形．

解答：解：（1）∵B′和B關(guān)于EF對(duì)稱，
∴B′E=BE，
∴C=OB′+B′E+OE=OB′+BE+OE=x+OB=x+2+

3

．

（2）當(dāng)B′E∥y軸時(shí)，∠EB′O=90°．
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠EOB′=60°，OB′=

1

2

EO．
設(shè)OB′=a，則OE=2a．
在Rt△OEB′中，tan∠EOB′=

B′E

B′O

，
∴B′E=B′Otan∠EOB′=

3

a；
∵B′E+OE=BE+OE=2+

3

，
∴a=1，
∴B′（1，0），E（1，

3

）．

（3）∵拋物線y=-2x²+bx+c的對(duì)稱軸是直線B′E，且經(jīng)過原點(diǎn)O，
∴圖象過（0，0）點(diǎn)，
∴c=0，
x=-

b

2a

=1，
∴x=-

b

2×(-2)

=1，
∴b=4，
∴b的值為4，c的值為0；

（4）答：不能．
理由如下：
∵∠EB′F=∠B=60°，
∴要使△EB′F成為直角三角形，則90°角只能是∠B′EF或∠B′FE．
假設(shè)∠B′EF=90°，
∵△FB′E與△FBE關(guān)于FE對(duì)稱，
∴∠BEF=∠B′EF=90°，
∴∠BEB′=180°，
則B′、E、B三點(diǎn)在同一直線上，B′與O重合．
這與題設(shè)矛盾．
∴∠B′EF≠90°．
即△EB′F不能為直角三角形．
同理，∠B′FE=90°也不成立．
∴△EB′F不能成為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出線段和角相等是解題的關(guān)鍵．