【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線 與拋物線 交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標為-8.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點D,作PE⊥AB于點E.
①設△PDE的周長為 ,點P的橫坐標為 ,求 關于 的函數(shù)關系式,并求出 的最大值;
②連接PA,以PA為邊作圖示一側的正方形APFG.隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點F或G恰好落在 軸上時,求出對應點P的坐標.
【答案】
(1)解:對于 ,當y=0,x=2.當x=-8時,y=- .
∴A點坐標為(2,0),B點坐標為(-8,- ).
由拋物線 經過A、B兩點,得 ,解得 , .
∴ ;
(2)解:①設直線 與y軸交于點M,
當x=0時,y= .∴OM= .
∵點A的坐標為(2,0),∴OA=2.
∴AM= .
∴OM∶OA∶AM=3∶4∶5.
由題意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,
∴△AOM∽△PED.
∴DE∶PE∶PD=3∶4∶5.
∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點,
∵PD⊥x軸,
∴PD兩點橫坐標相同,
∴PD=yP-yD= = ,
∴ .
∴x=-3時,l最大=15;
②當點G落在y軸上時,如圖2,
由△ACP≌△GOA得PC=AO=2,
即 ,解得x= ,
所以P1( ,2),P2( ,2),
如圖3,過點P作PN⊥y軸于點N,過點P作PS⊥x軸于點S,
由△PNF≌△PSA,
PN=PS,可得P點橫縱坐標相等,
故得當點F落在y軸上時, ,解得 ,
可得P3( , ),
P4( , ),(舍去).
綜上所述:滿足題意的點P有三個,分別是P1( ,2),P2( ,2),P3( , ).
【解析】(1)利用一次函數(shù)的解析式當y=0時求出點A的坐標,再將x=-8代入函數(shù)解析式求出B的坐標,再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答。
(2)①設z直線AB與y軸交于點M,根據(jù)勾股定理求出AM長,及三邊之比,再證明△AOM∽△PED.得出DE∶PE∶PD=3∶4∶5,由點P是直線AB上方的拋物線上一動點,PD⊥x軸,得出P、D兩點橫坐標相同,即可求出PD的長,再根據(jù)三角形的周長公式列式整理即可得解,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。
②當點G在y軸上時,根據(jù)正方形的性質,先證△ACP≌△GOA,得PC=AO=2,根據(jù)二次函數(shù)的解析式建立方程求解,即可求出點P的坐標;
當點F在y軸上時,過點PM⊥x軸于M,作PN⊥y軸于N,根據(jù)正方形的性質,先證△PNF≌△PSA,得出PN=PS,可得P點橫縱坐標相等,建立方程求解,即可求出點P的坐標。
【考點精析】利用二次函數(shù)的最值和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
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【題目】如圖,△ACE是以ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形,點C與點E關于x軸對稱.若E點的坐標是(7,﹣3 ),則D點的坐標為( 。
A. (3,0)
B. (4,0)
C. (5,0)
D. (6,0)
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【題目】如圖,在△ABC中,BC=5,高AD、BE相交于點O,BD=CD,且AE=BE.
(1)求線段AO的長;
(2)動點P從點O出發(fā),沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動,動點Q從點B出發(fā)沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動,P、Q兩點同時出發(fā),當點P到達A點時,P、Q兩點同時停止運動.設點P的運動時間為t秒,△POQ的面積為S,請用含t的式子表示S,并直接寫出相應的t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,點F是直線AC上的一點且CF=BO.是否存在t值,使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等?若存在,請直接寫出符合條件的t值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖是一個由正方形ABCD和半圓O組成的封閉圖形,點O是圓心.點P從點A出發(fā),沿線段AB,弧BC和線段CD勻速運動,到達終點D.運動過程中OP掃過的面積(s)隨時間(t)變化的圖象大致是( 。
A. B.
C. D.
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【題目】已知用3輛A型車和2輛B型車一次可運貨19噸;用2輛A型車和3輛B型車一次可運貨 21噸.(每輛車每次都滿載貨物)
(1)求1輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次分別可以運多少噸?
(2)某貨物中心現(xiàn)有49噸貨物,計劃同時租用A型車和B型車若干輛,一次運完,且恰好每輛車都載滿貨物,請問有哪幾種不同的租車方法.
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【題目】某服裝店用8000元購進一批襯衫,以58元/件的價格出售,很快售完,然后又用17600元購進同款襯衫,購進數(shù)量是第一次的2倍,購進的單價比上一次每件多4元,服裝店仍按原售價58元/件出售,并且全部售完.
(1)該服裝店第一次購進襯衫多少件?
(2)將該服裝店兩次購進襯衫看作一筆生意,那么這筆生意是盈利還是虧損?求出盈利(或虧損)多少元?
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,平分,且∠ACB=40°,∠BAC=70°.
(1)AD與BC平行嗎?試寫出推理過程;
(2)求和的度數(shù).
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【題目】閱讀下列材料,然后解答后面的問題.
我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)組解,但在實際生活中我們往往只需要求出其正整數(shù)解.例:由2x+3y=12,得,(x、y為正整數(shù))∴則有0<x<6.又為正整數(shù),則為正整數(shù).
由2與3互質,可知:x為3的倍數(shù),從而x=3,代入.
∴2x+3y=12的正整數(shù)解為
問題:
(1)請你寫出方程2x+y=5的一組正整數(shù)解:______;
(2)若為自然數(shù),則滿足條件的x值有______個;
A、2B、3C、4D、5
(3)七年級某班為了獎勵學習進步的學生,購買了單價為3元的筆記本與單價為5元的鋼筆兩種獎品,共花費35元,問有幾種購買方案?
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【題目】如圖,矩形ABCD的面積為20cm2,對角線交于點O;以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B,對角線交于點O1;以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B;…依此類推,則平行四邊形AO4C5B的面積為( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
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