Question

已知：如圖①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分別是邊BC，CD上的點．
（1）如圖①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的長；
（2）如圖②，若，且E，F，G分別為AP，PQ，PC的中點，求四邊形EPGF的面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，
∴∠CPQ+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠CPQ+∠APB=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，即，
∴CQ=3；

（2）解法一：取BP的中點H，連接EH，由，
設CQ=a，則BP=2a，
∵E，F，G，H分別為AP，PQ，PC，BP的中點，
∴EH∥AB，FG∥CD，
又∵AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∴EH∥FG，EH⊥BC，FG⊥BC，
∴四邊形EHGF是直角梯形，
∴EH=AB=2，FG=CQ=a，HP=BP=a，HG=HP+PG=BC=4，
∴S_梯形EHGF=（EH+FG）•HG=（2+a）•4=4+a，S_△EHP=HP•EH=a•2=a，
∴S_{四邊形EPGF}=S_梯形EHGF-S_△EHP=4+a-a=4；

解法二：連接AQ，由=2，設CQ=a，則BP=2a，DQ=4-a，PC=8-2a，S_△APQ=S_矩形ABCD-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ
=4×8-•2a•4-（8-2a）a-×8（4-a）
=a²-4a+16
∵E，F，G分別是AP，PQ，PC的中點
∴EF∥AQ，EF=AQ．∴△PEF∽△PAQ
∴，S_△PEF=S_△APQ=（a²-4a+16）
同理：S_△PFG=S_△PCQ=a（8-2a）
∴S_{四邊形EPGF}=S_△PEF+S_△PFG
=（a²-4a+16）+a（8-2a）=4．
分析：（1）、由同角的余角相等可得∠APB=∠PQC，故△ABP∽△PCQ，有，代入BP，AB，PC的值求得CQ的值；
（2）、取BP的中點H，連接EH，由三角形的中位線的性質可得四邊形EHGF是直角梯形，由，設CQ=a，有BP=2a，用含a的代數式表示出EH，FG，HP，HG，兩用梯形和三角形的面積公式求得S_{四邊形EPGF}=S_梯形EHGF-S_△EHP的值．
點評：本題利用了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，三角形和梯形的面積公式求解．