Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，點(diǎn)D在⊙O上，AD⊥AB于點(diǎn)A，AD與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)在DA的延長(zhǎng)線上，且AF=AE．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若AD=4，，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，因AD⊥AB，所以BD是直徑．證明BF⊥DB即可．
（2）作AG⊥BC于點(diǎn)G．由（1）中結(jié)論∠D=∠2=∠3，分別把這三個(gè)角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，根據(jù)，求相關(guān)線段的長(zhǎng)．
解答：證明：（1）如圖，連接BD．
∵AD⊥AB，D在圓O上，
∴∠DAB=90°，
∴DB是⊙O的直徑．
∴∠1+∠2+∠D=90°．
又∵AE=AF，
∴BE=BF，∠2=∠3．
∵AB=AC，
∴∠D=∠C=∠2=∠3．
∴∠1+∠2+∠3=90°．
即OB⊥BF于B．
∴直線BF是⊙O的切線．                               （4分）

（2）作AG⊥BC于點(diǎn)G．
∵∠D=∠2=∠3，
∴．
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=4，，
∴，．
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，AB=3，，
∴．
∵AB=AC，
∴．                                  （8分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定方法，運(yùn)用了三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)，綜合性較強(qiáng)，難度偏上．