孔明是一個喜歡探究鉆研的同學,他在和同學們一起研究某條拋物線y=ax2(a<0)的性質時,將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O,兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點,請解答以下問題:
(1)若測得(如圖1),求a的值;
(2)對同一條拋物線,孔明將三角板繞點O旋轉到如圖2所示位置時,過B作BF⊥x軸于點F,測得OF=1,寫出此時點B的坐標,并求點A的橫坐標______;
(3)對該拋物線,孔明將三角板繞點O旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn),交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點,試說明理由并求出該點的坐標.

【答案】分析:(1)先求出B點坐標,代入拋物線y=ax2(a<0)得a的值;
(2)過點A作AE⊥x軸于點E,可證△AEO∽△OFB,得出AE=2OE,可得方程點A的橫坐標.
(3)設A(-m,)(m>0),B(n,)(n>0),易知△AEO∽△OFB,根據(jù)相似三角形的性質可知交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點(0,-2).
解答:解:(1)設線段AB與y軸的交點為C,由拋物線的對稱性可得C為AB中點,
,∠AOB=90°,
∴AC=OC=BC=2,
∴B(2,-2),
將B(2,-2)代入拋物線y=ax2(a<0)得,

(2)解法一:過點A作AE⊥x軸于點E,
∵點B的橫坐標為1,
∴B(1,),

又∵∠AOB=90°,易知∠AOE=∠OBF,
又∵∠AEO=∠OFB=90°,
∴△AEO∽△OFB,
,
∴AE=2OE,
設點A(-m,)(m>0),則OE=m,
,

∴m=4,即點A的橫坐標為-4.

解法二:過點A作AE⊥x軸于點E,
∵點B的橫坐標為1,
∴B(1,),
,
∵∠AOB=90°,易知∠AOE=∠OBF,
,
∴AE=2OE,
設點A(-m,)(m>0),
則OE=m,
,
∴m=4,即點A的橫坐標為-4.

解法三:過點A作AE⊥x軸于點E,
∵點B的橫坐標為1,
∴B(1,),
設A(-m,)(m>0),
,,
∵∠AOB=90°
∴AB2=OA2+OB2,
∴(1+m)2+(-+m22=+m2+m4
解得:m=4,即點A的橫坐標為-4.

(3)解法一:設A(-m,)(m>0),B(n,)(n>0),
設直線AB的解析式為:y=kx+b,則
(1)×n+(2)×m得,
(8分)
又易知△AEO∽△OFB,
,
,
∴mn=4,

由此可知不論k為何值,直線AB恒過點(0,-2).
(說明:寫出定點C的坐標就給2分)

解法二:∵點A是拋物線y=-x2上的點,
∴設A(-m,)(m>0),B(n,)(n>0),
直線AB與y軸的交點為C,根據(jù)S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△B0F=S△AOC+S△BOC,
可得,
化簡,得
又易知△AEO∽△OFB,
,
,
∴mn=4,
∴OC=2為固定值.故直線AB恒過其與y軸的交點C(0,-2),
說明:mn的值也可以通過以下方法求得.
由前可知,,,
由OA2+OB2=AB2,得:,
化簡,得mn=4.
本答案僅供參考,若有其他解法,請參照本評分標準評分.
點評:本題著重考查了拋物線的對稱性和相似三角形的判定和性質,第(3)問求出mn=4是解題的關鍵,綜合性較強,有一定的難度.
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(1)若測得OA=OB=2
2
(如圖1),求a的值;
(2)對同一條拋物線,孔明將三角板繞點O旋轉到如圖2所示位置時,過B作BF⊥x軸于點F,測得OF=1,寫出此時點B的坐標,并求點A的橫坐標
 
;
(3)對該拋物線,孔明將三角板繞點O旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn),交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點,試說明理由并求出該點的坐標.
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(1)若測得(如圖1),求的值;

(2)對同一條拋物線,孔明將三角板繞點旋轉到如圖2所示位置時,過軸于點,測得,寫出此時點的坐標,并求點橫坐標

(3)對該拋物線,孔明將三角板繞點旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn),交點、的連線段總經(jīng)過一個固定的點,試說明理由并求出該點的坐標.

 


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