Question

【題目】如圖，直線y＝ax＋1（a≠0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，與雙曲線y＝ 在第四象限的交點為C．若點B與點C 關于點A對稱，且△BOC的面積為2．

（1）求a、k的值；

（2）問：在x軸上是否存在這樣的點P，使得△PBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】(1)a=-,k=-4；(2)存在，P點坐標分別為（,0），（-,0），（4+,0），（4-,0）.理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）先根據一次函數解析式求出B點坐標，再根據點B與點C 關于點A對稱，得出AB=AC,△OAB的面積等于△BOC面積的一半，且△BOC的面積為2．求出A點坐標，把A點坐標代入一次函數解析式就求出了a值，由A點坐標可知C點橫坐標，將C點橫坐標代入一次函數解析式求出C點縱坐標，把C點坐標代入反比例函數解析式，就確定了k值；（2）運用勾股定理先求出BC=2，當BC=BP或者BC=CP時，只要在x軸上找到一點P，使這點和B點或者C點的距離等于2即符合條件；當PB=PC時，因為AB=AC，此時P點在經過A點的BC的垂直平分線上，顯然P不在x軸上，這種情況不符合題意舍去，然后根據勾股定理及C點坐標，P點在x軸的正負半軸寫出P點的坐標即可.

試題解析：（1）由圖像可知，當x=0時，y=ax+1=1，所以B（0,1），因為點B與點C 關于點A對稱，所以AB=AC,△OAB的面積等于△BOC面積的一半，且△BOC的面積為2．即×1×OA=1，解得OA=2，所以A（2,0），把A（2,0）代入y=ax+1，可得2a+1=0,解得a=-.又因為A(2，0),所以C點橫坐標為4，代入y=-x+1,可得C點縱坐標為-1，然后將C（4，-1）代入y=，得k=-4.故答案為a=-,k=-4；(2)由上題可知B（0,1），C（4,-1），由勾股定理求得BC=，當BC=BP時，P點在A點左側x軸上時，由勾股定理求得P10=，P20=-4，這兩個P點坐標分別為（-,0），（4-,0）.當BC=BP時，P點在A點右側x軸上時，由勾股定理求得P30=，此時P點坐標為（,0）.當BC=CP，P點在A點右側x軸上時，求得P40=+4，當PB=PC時，因為AB=AC，此時P點在經過A點的BC的垂直平分線上，顯然P不在x軸上，這種情況不符合題意舍去，綜上所述，符合條件的P點有4個，坐標分別為（,0），（-,0），（4+,0），（4-,0）.