Question

28、在△ABC中，D為BC的中點，O為AD的中點，直線l過點O．過A、B、C三點分別做直線l的垂線，垂足分別是G、E、F，設(shè)AG=h₁，BE=h₂，CF=h₃．
（1）如圖所示，當直線l⊥AD時（此時點G與點O重合）．求證：h₂+h₃=2h₁；

（2）將直線l繞點O旋轉(zhuǎn)，使得l與AD不垂直．
①如圖所示，當點B、C在直線l的同側(cè)時，猜想（1）中的結(jié)論是否成立，請說明你的理由；

②如圖所示，當點B、C在直線l的異側(cè)時，猜想h₁、h₂、h₃滿足什么關(guān)系．（只需寫出關(guān)系，不要求說明理由）

Answer 1

分析：（1）因為BE⊥l，GF⊥l，所以四邊形BCFE是梯形，又因為D是BC的中點，由梯形的中位線定理可得BE+CF=2DG，O為AD的中點，故可證h₂+h₃=2h₁；
（2）①過點D作DH⊥l，垂足為H，根據(jù)AAS易證△AGO≌△DHO，所以DH=AG，又因為D為BC的中點，由梯形的中位線性質(zhì)可得2AG=BE+CF，故（1）結(jié)論成立；②h₁、h₂、h₃滿足關(guān)系：h₂-h₃=2h₁．

解答：
（1）證明：∵BE⊥l，CF⊥l
∴四邊形BCFE是梯形
又∵GD⊥l，D是BC的中點
∴DG是梯形的中位線
∴BE+CF=2DG
又∵O為AD的中點
∴AG=DG
∴BE+CF=2AG
即h₂+h₃=2h₁；

（2）①成立；
證明：過點D作DH⊥l，垂足為H
∴∠AGO=∠DHO，∠AOG=∠DOH，OA=OD
∴△AGO≌△DHO
∴DH=AG
又∵D為BC的中點，由梯形的中位線性質(zhì)
∴2DH=BE+CF，即2AG=BE+CF
∴h₂+h₃=2h₁成立；
②h₁、h₂、h₃滿足關(guān)系：h₂-h₃=2h₁．

點評：此題把梯形、梯形的中位線定理和全等三角形的判定結(jié)合求解．考查學生綜合運用數(shù)學知識的能力．