Question

如圖，在△ABC，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn)，AB=10cm，求MD的長(zhǎng)．

Answer 1

解：如右圖所示，在DC上取一點(diǎn)E，使DE=DB，
∵DB=DE，AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直平分線，
∴AE=AB=10，
∴∠AEB=∠B，
又∵∠AEB=∠C+∠EAC，∠B=2∠C，
∴∠EAC=∠C，
∴△AEC是等腰三角形，
∴CE=AE=10，
設(shè)DB=DE=a，那么BC=BE+CE=2a+10，
∴BM=CM=a+5，
∴DM=BM-BD=5．
分析：先在DC上取一點(diǎn)E，使DE=DB，由于AD⊥BC，可確定AD是BE的垂直平分線，利用其性質(zhì)有AE=AB=10，再利用等邊對(duì)等角可知∠AEB=∠B，結(jié)合三角形外角性質(zhì)、∠B=2∠C，易證△AEC是等腰三角形，于是CE=AE=10，再設(shè)DB=DE=a，先求BC，再求BM，最后易求DM．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是作輔助線，在DC取E，使DE=DB，從而構(gòu)造垂直平分線，得出AB=AE．