Question

如圖，已知△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．
（1）若∠ABC=80°，∠ACB=50°，則∠BPC=

 

度；
（2）若∠A=x°，試求∠BPC的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）現(xiàn)將一直線MN繞點P旋轉(zhuǎn)．
①當(dāng)直線MN與AB、AC的交點M、N分別在線段AB和AC上時（如圖1），試求∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)直線MN與AB的交點M在線段AB上，與AC的交點N在AC的延長線上時（如圖2），試問①中的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠PBC=40°，∠PCB=25°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出即可；
（2）求出∠ABC+∠ACB，求出∠PBC+∠PCB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（3）①根據(jù)∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC和∠BPC=90°+

1

2

∠A，代入求出即可；②根據(jù)∠MPB=180°-（∠BPC-∠NCP）和∠BPC=90°+

1

2

∠A，代入求出即可．

解答：解：（1）∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC=80°，∠ACB=50°，
∴∠PBC=40°，∠PCB=25°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=115°，
故答案為：115；

（2）∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A
=90°+

1

2

x°；

（3）①∠MPB+∠NPC=90°-

1

2

∠A，
理由如下：
∵∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+

1

2

∠A）
=90°-

1

2

∠A；

②原結(jié)論不成立，正確的是∠MPB-∠NPC=90°-

1

2

∠A，
理由如下：
由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，
由知①：∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC
=180°-（90°+

1

2

∠A）
=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查了角平分線定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．