Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx（a＜0）的圖象與x軸交于A、O兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為B，將該拋物線的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，與x軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，若此時(shí)四邊形ABCD恰好為矩形，則b的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：利用矩形性質(zhì)得出要使平行四邊形ABCD是矩形，必須滿足AC=BD，即可求出．

解答：解：如圖，連接AB、OB．過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E．
要使平行四邊形ABCD是矩形，必須滿足AC=BD，
∴OA=OB．
∵點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，
∴AB=OB，
∴△ABO是等邊三角形，
∠BAE=60°，AE=

1

2

OA．
∵y=ax²+bx=ax（x+

b

a

）=0，y=ax²+bx=a（x-

b

2a

）²-

b2

4a

∴A（-

b

a

，0），B（

b

2a

，-

b2

4a

），
∴tan60°=

BE

AE

=

- b2 4a

- b 2a

=

3

2

．
解得 b=-2

3

．
故答案是：-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象的幾何變換，根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到△ABO是等邊三角形是解題的難點(diǎn)．