Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE．

（1）判斷線段AC與AE是否相等，并說明理由；

（2）求過A、C、D三點(diǎn)的圓的直徑．

 

Answer 1

【答案】

（1）AC＝AE；（2）

【解析】

試題分析：（1）由∠ACB＝90°可得AD為直徑，再根據(jù)AD是△ABC的角平分線，可得，即得，即可證得結(jié)論；

（2）先跟勾股定理求得AB的長，從而得到BE的長，證得△ABC∽△DBE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得DE的長，再根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果。

（1）∵∠ACB＝90°， 

∴AD為直徑，   

又∵AD是△ABC的角平分線，

∴，

∴，

∴在同一個⊙O中，AC＝AE；    

（2）∵AC=5，CB=12，

∴AB=，

∵AE=AC=5，

∴BE=AB-AE=13-5=8，       

∵AD是直徑，

∴∠AED=∠ACB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△DBE，   

∴，

∴DE＝ ， 

∴AD＝ 

∴△ACD外接圓的直徑為．

考點(diǎn)：本題考查的是圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握90°的圓周角所對的弦是直徑；在同圓或等圓中，等弧所對的弦相等。