Question

已知二次函數(shù)y=x²+2x+m的圖象C₁與x軸有且只有一個公共點(diǎn)．
（1）求C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將C₁向下平移若干個單位后，得拋物線C₂，如果C₂與x軸的一個交點(diǎn)為A（-3，0），求C₂的函數(shù)關(guān)系式，并求C₂與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的兩點(diǎn)，且y₁＞y₂，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于二次函數(shù)y=x²+2x+m的圖象C₁與x軸有且只有一個公共點(diǎn)，那么頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，由此可以確定m．
（2）首先設(shè)所求拋物線解析式為y=（x+1）²+k，然后把A（-3，0）代入即可求出k，也就求出了拋物線的解析式；
（3）由于圖象C₁的對稱軸為直線x=-1，所以知道當(dāng)x≥-1時，y隨x的增大而增大，然后討論n≥-1和n≤-1兩種情況，利用前面的結(jié)論即可得到實(shí)數(shù)n的取值范圍．
解答：（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，對稱軸為直線x=-1，
∵與x軸有且只有一個公共點(diǎn)，
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，
∴C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；

（2）設(shè)C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+1）²+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+1）²-4．
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點(diǎn)為A（-3，0），
由對稱性可知，它與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；

（3）當(dāng)x≥-1時，y隨x的增大而增大，
當(dāng)n≥-1時，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
當(dāng)n＜-1時，P（n，y₁）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
綜上所述：n＞2或n＜-4．
點(diǎn)評：此題比較復(fù)雜，首先考查拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)與其判別式的關(guān)系，接著考查拋物線平移的性質(zhì)，最后考查拋物線的增減性．