已知二次函數(shù)y=x2+2x+m的圖象C1與x軸有且只有一個公共點(diǎn).
(1)求C1的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將C1向下平移若干個單位后,得拋物線C2,如果C2與x軸的一個交點(diǎn)為A(-3,0),求C2的函數(shù)關(guān)系式,并求C2與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的兩點(diǎn),且y1>y2,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
【答案】分析:(1)由于二次函數(shù)y=x2+2x+m的圖象C1與x軸有且只有一個公共點(diǎn),那么頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,由此可以確定m.
(2)首先設(shè)所求拋物線解析式為y=(x+1)2+k,然后把A(-3,0)代入即可求出k,也就求出了拋物線的解析式;
(3)由于圖象C1的對稱軸為直線x=-1,所以知道當(dāng)x≥-1時,y隨x的增大而增大,然后討論n≥-1和n≤-1兩種情況,利用前面的結(jié)論即可得到實(shí)數(shù)n的取值范圍.
解答:(1)y=x2+2x+m=(x+1)2+m-1,對稱軸為直線x=-1,
∵與x軸有且只有一個公共點(diǎn),
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,
∴C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0);

(2)設(shè)C2的函數(shù)關(guān)系式為y=(x+1)2+k,
把A(-3,0)代入上式得(-3+1)2+k=0,得k=-4,
∴C2的函數(shù)關(guān)系式為y=(x+1)2-4.
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1,與x軸的一個交點(diǎn)為A(-3,0),
由對稱性可知,它與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0);

(3)當(dāng)x≥-1時,y隨x的增大而增大,
當(dāng)n≥-1時,
∵y1>y2,
∴n>2.
當(dāng)n<-1時,P(n,y1)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-2-n,y1),且-2-n>-1,
∵y1>y2,
∴-2-n>2,
∴n<-4.
綜上所述:n>2或n<-4.
點(diǎn)評:此題比較復(fù)雜,首先考查拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)與其判別式的關(guān)系,接著考查拋物線平移的性質(zhì),最后考查拋物線的增減性.
練習(xí)冊系列答案
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A、
3
4
B、-
3
4
C、
5
4
D、-
5
4

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A、x1=1,x2=3B、x1=0,x2=3C、x1=-1,x2=1D、x1=-1,x2=3

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(2)求y的最大值;
(3)寫出當(dāng)y>0時,x的取值范圍.

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