Question

如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=x-6與x軸交于點A，與y軸交于點B，以（6，-6）為圓心，3

2

為半徑作⊙C．
（1）求證：直線AB與⊙C相切；
（2）過原點O引射線OP、OQ與⊙C相切，切點為E、F，與直線AB分別交于點M、N（點M在點N的上方）．
①求∠POQ的度數(shù)；
②△OMN的周長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：探究型

分析：（1）連接CA，CB，過點C作CD⊥AB于點D，先根據(jù)A、B是直線y=x-6與x、y軸的交點，求出A、B的坐標，判斷出四邊形OBCA的形狀，再根據(jù)三角形的面積公式求出CD的長，再與⊙C的半徑相比較即可；
（2）①連接CE，CF，OC，則CE⊥OP，CF⊥OQ，再根據(jù)兩點間的距離公式求出OC的長，由銳角三角函數(shù)的定義可求出∠EOC的度數(shù)，進而可得出∠EOF的度數(shù)；
②根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出OE的長，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得出MD=ME，ND=NF，OE=OF，故可得出△OMN的周長=OE+OF=2OE，故可得出結論．

解答：解：（1）如圖1，連接CA，CB，過點C作CD⊥AB于點D，
∵A、B是直線y=x-6與x、y軸的交點，
∴A（6，0），B（0，-6），
∴OA=OB=6，AB=6

2

，
∵C（6，-6），
∴OA=OB=BC=AC=6，
∵∠AOB=90°，
∴四邊形OBCA是正方形，
∴S_△ACB=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，即6×6=6

2

CD，
解得CD=3

2

，
∴⊙C與直線AB相切；

（2）①如圖2，連接CE，CF，OC，
∵OP，OQ均是⊙C的切線，
∴CE⊥OP，CF⊥OQ，
∵C（6，-6），
∴OC=

(0-6)2+(0+6)2

=6

2

，
∵CE=3

2

，
∴∠EOC=30°，
同理可得∠FOC=30°，
∴∠POQ=∠FOC+∠EOC=60°；

②∵由①知，Rt△OEC中，OC=6

2

，CE=3

2

，∠EOC=30°，
∴OE=OF=OC•cos30°=6

2

×

3

2

=3

6

，
∵AB，OP，OQ均是⊙C的切線，
∴MD=ME，ND=NF，OE=OF，
∴△OMN的周長=OE+OF=3

6

+3

6

=6

6

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等相關知識，難度適中．