Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，它的三邊長分別為a，b，c，對于同一個銳角A的正弦，余弦存在關(guān)系式sin²A+cos²A=1試說明．
解：∵sinA=

 

，cosA=

 

．
∴sin²A+cos²A=

 

，
∵a²+b²=c²，∴sin²A+cos²A=1．
（1）在橫線上填上適當(dāng)內(nèi)容；
（2）若∠α為銳角，利用（1）的關(guān)系式解決下列問題．
①若sinα=

4

5

，求cosα的值；cosα=

3

5

②若sinα+cosα=1.1，求sinαcosα的值．sinαcosα=0.105．

Answer 1

分析：閱讀題意，找到關(guān)系式sin²A+cos²A=1，利用銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理來進行求解．

解答：解：（1）∵sinA=

a

c

，cosA=

b

c

．
∴sin²A+cos²A=

a2

c2

+

b2

c2

=

a2+b2

c2

，
∵a²+b²=c²，∴sin²A+cos²A=1．

（2）∵sinα=

4

5

，sin²A+cos²A=1，
∴cosα=

1-sin2α

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

．

（3）∵sinα+cosα=1.1，sin²A+cos²A=1，
∴（sinα+cosα）²=1.21，
sin²A+cos²A+2sincosα=1.21，
1+2sincosα=1.21，
∴sincosα=（1.21-1）÷2=0.105．

點評：本題利用了銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理對同角的三角函數(shù)的關(guān)系：sin²A+cos²A=1進行了證明和應(yīng)用．