Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．
（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；
（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形；
（2）延長ED使得DN=DM，連接MN，即可得出△NDM是等邊三角形，利用△NGM≌△DBM即可得出BD=NG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠H=∠2，進而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=

1

2

AB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于點E．
∴AE=BE=

1

2

AB．
∴BC=BE．
∴△EBC是等邊三角形；

（2）結(jié)論：AD=DG+DM．
證明：
如圖2所示：延長ED使得DN=DM，連接MN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DN，
∴△NDM是等邊三角形，
∴MN=DM，
在△NGM和△DBM中，
∵

∠N=∠MDB MN=DM ∠NMG=∠DMB

∴△NGM≌△DBM，
∴BD=NG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．



（3）結(jié)論：AD=DG-DN．
證明：延長BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于點E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等邊三角形．
∴NH=ND，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，

∠DNG=∠HNB DN=HN ∠H=∠2

∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG-ND．

點評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知做出正確輔助線是解題關(guān)鍵．