Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=x+6與x軸交于A，與y軸交于B，BC⊥AB交x軸于C．
①求△ABC的面積．
②如圖2，D為OA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊做等腰直角三角形BDE，連接EA．求直線EA的解析式．
③點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE=30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得OM+NM的值最小？若存在，請(qǐng)寫出其最小值，并加以說明．

Answer 1

解：①求△ABC的面積=36；

②過E作EF⊥x軸于F，延長(zhǎng)EA交y軸于H．
∵△BDE為等腰直角三角形
∴DE=DB，∠BDE=90°
∵∠BDE=90°
∴∠EDF+∠BDO=90°
∵∠BOD=90°
∴∠BDO+∠DBO=90°
∴∠EDF=∠DBO﹙同角的余角相等﹚
∵EF⊥X軸
∴∠BOF=∠EFD=90°
在△DEF與△BDO中
∠EDF=∠DBO
∠BOF=∠EFD
DE=DB
∴△DEF≌△BDO（AAS），
∴DF=BO=AO，EF=OD；
∴AF=EF，
∴∠EAF=45°，
∴△AOH為等腰直角三角形．
∴OA=OH，
∴H（0，-6）
∴直線EA的解析式為：y=-x-6；

③在線段OA上任取一點(diǎn)N，易知使OM+NM的值最小的是點(diǎn)O到點(diǎn)N關(guān)于直線AF對(duì)稱點(diǎn)N′之間線段的長(zhǎng)．
當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，ON′最短為點(diǎn)O到直線AE的距離，即點(diǎn)O到直線AE的垂線段的長(zhǎng)．∠OAE=30°，OA=6，
所以O(shè)M+NM的值為3．
分析：①由已知y=x+6，可得出OA=OB=6，∠BAO=∠ABO=45°，再由BC⊥AB求出OC=OB=6，從而求得△ABC的面積．
②首先過E作EF⊥x軸于F延長(zhǎng)EA交y軸于H，通過證三角形全等及等量代換先求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，有點(diǎn)斜式寫出直線EA的解析式．
③由已知可在線段OA上任取一點(diǎn)N，又由AF是∠OAE的平分線，再在AE作關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn)N′，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，ON′最短為點(diǎn)O到直線AE的距離．由已知∠OAE=30°，得直角三角形，OA=6，所以得OM+NM=3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的應(yīng)用及直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用．關(guān)鍵是通過一次函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)求解．