Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF．

（1）求證：△AEF≌△DEC；

（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用平行線(xiàn)性質(zhì)得出∠AFE=∠DCE，然后結(jié)合題意可知AE=DE，由此進(jìn)一步證明△AEF與△DEC全等即可；

（2）首先根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形AFBD為平行四邊形，然后進(jìn)一步根據(jù)“有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形”得出∠ADB=90°，最后根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”可知需要AB=AC，由此即可得出答案.

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，

∴AE=DE，

在△AEF與△DEC中，

∵∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF△DEC（AAS）；

（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形，理由如下：

∵△AEF△DEC，

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴DC=BD，

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD為平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AFBD為矩形.