Question

如圖，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線交AB于E，交BC于F，DG為AC的垂直平分線，交AC于G，交BC于D，若BC=15cm，則DF長為________．

Answer 1

5
分析：連接AF、AD，先由△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°求出∠B及∠C的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF，∠C=∠CAD，由三角形外角的性質(zhì)求出∠AFD與∠ADF的度數(shù)，判斷出△AFD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得到AF=FD=AD，故AF=FD=AD=BF=CD，即3DF=BC，由BC=15cm即可求出DF的長．
解答：解：連接AF、AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C===30°，
∵EF、DG分別為線段AB、AC的垂直平分線，
∴BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF=30°，∠C=∠CAD=30°，
∵∠AFD與∠ADF分別是△ABF與△ACD的外角，
∴∠AFD=∠B+∠BAF=30°+30°=60°，∠ADF=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴AF=FD=AD，
∵BF=AF，AD=CD，BC=15cm，
∴AF=FD=AD=BF=CD，
∴3DF=BC=15，
∴DF=5cm．
點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，熟知線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解答此題的關鍵．