Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=8，點C在半徑OA上（點C與點O、A不重合），過點C作AB的垂線交⊙O于點D，聯(lián)結(jié)OD，過點B作OD的平行線交⊙O于點E、交射線CD于點F．

（1）若，求∠F的度數(shù)；
（2）設(shè)CO=x，EF=y寫出y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）設(shè)點C關(guān)于直線OD的對稱點為P，若△PBE為等腰三角形，求OC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OE，由，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度數(shù)；
（2）作OH⊥BE，垂足為H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得，則可求得y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C關(guān)于直線OD的對稱點為P在線段OE上，然后分別從PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）連接OE，-------------------------------------------------------（1分）
∵=，
∴∠BOE=∠EOD-------------------------------------------------------------------（1分）
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，-------------------------------------------------------------------（1分）
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，---------------------------------------------------------------------（1分）
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；--------------------------------------------------------------------------（1分）

（2）作OH⊥BE，垂足為H，-----------------------------------------------------------------------------（1分）
∵在△HBO和△COD中，
，
∴△HBO≌△COD（AAS），-------------------------------------------------------------------------------------（1分）
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴，--------------------------------------------------------------------（1分）
∴，
∴y=（0＜x＜4）；-------------------------（2分）

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C關(guān)于直線OD的對稱點為P在線段OE上，----------------（1分）
若△PBE為等腰三角形，
設(shè)CO=x，
∴OP=OC=x，
則PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①當PB=PE，不合題意舍去；--------------------------------------------------------------（1分）
②當EB=EP，2x=4-x，
解得：x=，---------------------------------------------------------（1分）
③當BE=BP，作BM⊥OE，垂足為M，
∴EM=PE=，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴，
∴，
整理得：x²+x-4=0，
解得：x=（負數(shù)舍去）．----------------------------------（1分）
綜上所述：當OC的長為或時，△PBE為等腰三角形．
點評：此題考查了圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等性質(zhì)．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．