Question

（2012•鞍山）如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)A（0，4），直線DM⊥x軸正半軸于點(diǎn)M，交線段AB于點(diǎn)C，DM=6，連接DA，∠DAC=90°．
（1）直接寫出直線AB的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是線段MB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AB于點(diǎn)F，交過O、D、B三點(diǎn)的拋物線于點(diǎn)E，連接CE．是否存在點(diǎn)P，使△BPF與△FCE相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（0，4），B（4，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)，可求直線AB的解析式；
（2）作DG⊥y軸，垂足為G，由已知得OA=OB=4，△OAB為等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余關(guān)系可知，△ADG為等腰直角三角形，則DG=AG=OG-OA=DM-OA=6-4=2，可求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入求拋物線解析式，由于對頂角∠CFE=∠BFP=45°，故當(dāng)△BPF與△FCE相似時(shí)，分為：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°兩種情況，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A（0，4），B（4，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得

b=4 4k+b=0

，解得

k=-1 b=4

，所以，直線AB的解析式為y=-x+4；

（2）過D點(diǎn)作DG⊥y軸，垂足為G，
∵OA=OB=4，
∴△OAB為等腰直角三角形，
又∵AD⊥AB，
∴∠DAG=90°-∠OAB=45°，即△ADG為等腰直角三角形，
∴DG=AG=OG-OA=DM-OA=6-4=2，
∴D（2，6）；

（3）存在．
由拋物線過O（0，0），B（4，0）兩點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-4），
將D（2，6）代入，得a=-

3

2

，所以，拋物線解析式為y=-

3

2

x（x-4），
由（2）可知，∠PBF=45°，則∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2），
設(shè)P（x，0），則MP=x-2，PB=4-x，
①當(dāng)∠ECF=∠BPF=90°時(shí)（如圖1），△BPF與△FCE相似，
過C點(diǎn)作CH⊥EF，此時(shí)，△CHE、△CHF、△PBF為等腰直角三角形，
則PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4-x+2（x-2）=x，
將E（x，x）代入拋物線y=-

3

2

x（x-4）中，得x=-

3

2

x（x-4），解得x=0或

10

3

，即P（

10

3

，0），
②當(dāng)∠CEF=∠BPF=90°時(shí)（如圖2），此時(shí)，△CEF、△BPF為等腰直角三角形，
則PE=MC=2，將E（x，2）代入拋物線y=-

3

2

x（x-4）中，得2=-

3

2

x（x-4），
解得x=

6-2 6

3

或

6+2 6

3

，即P（

6+2 6

3

，0），
所以，P（

10

3

，0）或（

6+2 6

3

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)判斷△ABC的形狀，利用互余關(guān)系判斷其它三角形形狀，求出D點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線解析式，根據(jù)△BPF為等腰直角三角形，△BPF與△FCE相似，且有對頂角相等，由直角的對應(yīng)關(guān)系，分類求P點(diǎn)坐標(biāo)．