Question

圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設過點A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D．

（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；

①求此拋物線的表達式與點D的坐標；

②若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；

（2）如圖2，若a=1，求證：無論b，c取何值，點D均為頂點，求出該定點坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣x﹣4；

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答圖1，連接AC、BC．

由勾股定理得：AC=，BC=．

∵AC²+BC²=AB²=100，

∴∠ACB=90°，

∴AB為圓的直徑．

由垂徑定理可知，點C、D關于直徑AB對稱，

∴D（0，4）．

 

（2）解法一：

設直線BD的解析式為y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），

∴，解得，

∴直線BD解析式為：y=﹣x+4．

設M（x，x²﹣x﹣4），

如答圖2﹣1，過點M作ME∥y軸，交BD于點E，則E（x，﹣x+4）．

∴ME=（﹣x+4）﹣（x²﹣x﹣4）=﹣x²+x+8．

∴S_△BDM=S_△MED+S_△MEB=ME（x_E﹣x_D）+ME（x_B﹣x_D）=ME（x_B﹣x_D）=4ME，

∴S_△BDM=4（﹣x²+x+8）=﹣x²+4x+32=﹣（x﹣2）²+36．

∴當x=2時，△BDM的面積有最大值為36；

解法二：

如答圖2﹣2，過M作MN⊥y軸于點N．

設M（m，m²﹣m﹣4），

∵S_△OBD=OB•OD==16，

S_梯形OBMN=（MN+OB）•ON

=（m+8）[﹣（m²﹣m﹣4）]

=﹣m（m²﹣m﹣4）﹣4（m²﹣m﹣4），

S_△MND=MN•DN

=m[4﹣（m²﹣m﹣4）]

=2m﹣m（m²﹣m﹣4），

∴S_△BDM=S_△OBD+S_梯形OBMN﹣S_△MND

=16﹣m（m²﹣m﹣4）﹣4（m²﹣m﹣4）﹣2m+m（m²﹣m﹣4）

=16﹣4（m²﹣m﹣4）﹣2m

=﹣m²+4m+32

=﹣（m﹣2）²+36；

∴當m=2時，△BDM的面積有最大值為36．

 

（3）如答圖3，連接AD、BC．

由圓周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∴△AOD∽△COB，

∴=，

設A（x₁，0），B（x₂，0），

∵已知拋物線y=x²+bx+c（c＜0），

∵OC=﹣c，x₁x₂=c，

∴=，

∴OD==1，

∴無論b，c取何值，點D均為定點，該定點坐標D（0，1）．