Question

已知點M為△ABC的邊BC的中點，AB=12，AC=18，BD⊥AD于D，連DM．
（1）如圖1，若AD為∠BAC的平分線，求MD的長；
（2）如圖，若AD為∠BAC的外角平分線，求MD的長．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長BD交AC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=DE，AB=AE，再求出CE，然后判斷出DM是△BCE的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答；
（2）延長BD交CA的延長線于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=DE，AB=AE，再求出CE，然后判斷出DM是△BCE的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答．

解答：解：（1）如圖，延長BD交AC于E，
∵AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD，
∴BD=DE，AB=AE=12，
∴CE=AC-AE=18-12=6，
又∵M為△ABC的邊BC的中點，
∴DM是△BCE的中位線，
∴MD=

1

2

CE=

1

2

×6=3；

（2）延長BD交CA的延長線于E，
∵AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD，
∴BD=DE，AB=AE=12，
∴CE=AC+AE=18+12=30，
又∵M為△ABC的邊BC的中點，
∴DM是△BCE的中位線，
∴MD=

1

2

CE=

1

2

×30=15．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出以MD為中位線的三角形是解題的關(guān)鍵．