Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，過點B作⊙O的切線，C是切線上一點，且BC=2，P是線段OA中點，連接PC交⊙O于點D，過點P作PC的垂線，交切線BC于點E，交⊙O于點F，連接DF交AB于點G，則PE的長為

3

2

13

．

Answer 1

分析：由AB是⊙O的直徑，AB=4，BC=2，P是線段OA中點，CE是⊙O的切線，可求得BP與PC的長，易證得△PBC∽△EBP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得PE的長．

解答：解：∵AB是⊙O的直徑，AB=4，
∴OA=OB=

1

2

AB=2，
∵P是線段OA中點，
∴OP=

1

2

OA=1，
∴BP=OB+OP=3，
∵CE是⊙O的切線，
∴AB⊥CE，
∵BC=2，
在Rt△BCP中，BP=

BC2+BP2

=

13

，
∵CP⊥EP，
∴∠BCP+∠BPE=90°，
∵∠E+∠BPE=90°，
∴∠BCP=∠E，
∵∠PBC=∠EBP=90°，
∴△PBC∽△EBP，
∴BC：BP=PC：PE，
∴PE=

BP•PC

BC

=

3 13

2

．
故答案為：

3 13

2

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．