Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，設(shè)AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．
試說(shuō)明：（1）；（2）a+b＜c+h；（3）判斷以a+b、h、c+h為邊的三角形的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵Rt△ABC的面積為：ab或ch，
∴ab=ch，（ab）²=（ch）²，即a²b²=c²h²，
∵a²+b²=c²，
∴a²b²=（a²+b²）h²，
∴=h²，
∴=，
∴=，
∴；

（2）證明：∵c²＜c²+h²，a²+b²=c²，
∴a²+b²＜c²+h²，
∵ab=ch
∴a²+b²+2ab＜c²+h²+2ch，
∴（a+b）²＜（c+h）²，
∴a+b＜c+h

（3）是直角三角形．
證明：∵（c+h）²=c²+2ch+h²，
h²+（a+b）²=h²+a²+2ab+b²，
∵a²+b²=c²，（勾股定理）
ab=ch（面積公式推導(dǎo)）
∴c²+2ch+h²=h²+a²+2ab+b²，
∴（c+h）²=h²+（a+b）²，
∴根據(jù)勾股定理的逆定理知道
以h，c+h，a+b為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形
分析：（1）只需證明h²（）=1，從左邊推導(dǎo)到右邊；
（2）證明（a+b）²＜（c+h）²；
（3）直角三角形，證明（a+h）²+h²=（c+h）²．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題，在證明過(guò)程中，注意面積關(guān)系式ab=ch的應(yīng)用．