Question

如圖，拋物線y＝x²－x－12與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)．

（1）求△AOB的外接圓的面積；

（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動。問當(dāng)t為何值時，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？

（3）若M為線段AB上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)N．

①是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形CBAN面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）π；（2）t＝；（3）①不存在；②M（，－6），

【解析】

試題分析：（1）由題意得△AOB為直角三角形，分別求得拋物線y＝x²－x－12與x軸、y軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得AB的長，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（2）由AP＝2t，AQ＝15－t，易求得AC=12，再分△APQ∽△AOB與△AQP∽△AOB兩種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（3）①先求得直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y＝x－12，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x－12），N（x，x²－x－12），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得MN＝OB＝12，即可得到(x－12)－(x²－x－12)＝12 ，而此方程的△＜0，無實(shí)數(shù)根，故不存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②由S_{四邊形CBNA}= S_△ACB+ S_△ABN="72+" S_△ABN可得S_△ABN＝S_△OBN＋S_△OAN－S_△AOB＝6x＋(－2x²＋12x＋54)－54＝－2x²＋18x＝－2(x－)²＋，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

（1）由題意得：A（9，0），B（0，－12）  

∴OA＝9，OB＝12，

∴AB＝15 

∴S＝π·()²＝π；

（2）AP＝2t，AQ＝15－t，易求AC=12，∴0≤t≤6

若△APQ∽△AOB，則＝．∴t＝．  

若△AQP∽△AOB，則＝．∴t＝＞6（舍去）． 

∴當(dāng)t＝時，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似．

（3）直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y＝x－12．   

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x－12），N（x，x²－x－12）．

若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN＝OB＝12

∴(x－12)－(x²－x－12)＝12

即x²－9x＋27＝0

∵△＜0，

∴此方程無實(shí)數(shù)根，

∴不存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②∵S_{四邊形CBNA}= S_△ACB+ S_△ABN="72+" S_△ABN

∵S_△AOB＝54，S_△OBN＝6x，S_△OAN＝·9·＝－2x²＋12x＋54

∴S_△ABN＝S_△OBN＋S_△OAN－S_△AOB＝6x＋(－2x²＋12x＋54)－54＝－2x²＋18x＝－2(x－)²＋

∴當(dāng)x＝時，S_△ABN最大值＝ 

此時M（，－6），S_{四邊形CBNA}最大=．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評：本題知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學(xué)生對二次函數(shù)的熟練掌握情況.