Question

（2013•山西模擬）如圖①，一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為10厘米，頂點(diǎn)C₁處有一只昆蟲(chóng)甲，在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲(chóng)乙．（盒壁的厚度忽略不計(jì)）
（1）假設(shè)昆蟲(chóng)甲在頂點(diǎn)C₁處?kù)o止不動(dòng)，在圖①畫(huà)出一條路徑，使昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A沿這條路徑爬行，可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲(chóng)甲．（請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法）
（2）如圖②，假設(shè)昆蟲(chóng)甲靜止不動(dòng)，昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲(chóng)乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉到昆蟲(chóng)甲？
（3）如圖②，假設(shè)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)C₁，以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C₁C向下爬行，同時(shí)昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲(chóng)乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉到昆蟲(chóng)甲？（精確到1s）．參考數(shù)據(jù)：

19

≈4.4，

21

≈4.6．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)相鄰兩個(gè)面放在同一平面內(nèi)時(shí)，過(guò)AC₁的線段必過(guò)公共棱的中點(diǎn)，按此方法，可畫(huà)出A，C₁所在的相鄰面的所有公共棱的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)昆蟲(chóng)甲靜止不動(dòng)，昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，得出AC₁=

202+102

=10

5

cm，即可求出所行時(shí)間；
（3）聯(lián)系（1）中的4個(gè)結(jié)論，分別畫(huà)出圖形，利用勾股定理求得兩點(diǎn)間的最短路線，進(jìn)而求解．

解答：解：（1）畫(huà)出圖①中A?E₂?C₁，A?E₃?C₁，A?E₄?C₁中任意一條路徑；（E₁、E₂、E₃分別為各棱中點(diǎn)）
（2）如圖2，根據(jù)昆蟲(chóng)甲靜止不動(dòng)，昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，
AC₁=

202+102

=10

5

cm，
故昆蟲(chóng)乙至少需要爬行：10

5

÷2=5

5

秒，
答：昆蟲(chóng)乙至少需要5

5

時(shí)間才能捕捉到昆蟲(chóng)甲；

（3）由（1）可知，當(dāng)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)C₁沿棱C₁C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲(chóng)乙可以沿下列四種路徑中的任意一種爬行：

可以看出，圖②-1與圖②-2中的路徑相等，圖②-3與圖②-4中的路徑相等．
①設(shè)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)C₁沿棱C₁C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E→F爬行捕捉到昆蟲(chóng)甲需x秒鐘，
如圖②-1-1，在Rt△ACF中，
（2x）²=（10-x）²+20²，
解得x=10秒；
設(shè)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)C₁沿棱C₁C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E₂→F爬行捕捉到昆蟲(chóng)甲需y秒鐘，
如圖②-1-2，在Rt△ABF中，
（2y）²=（20-y）²+10²，
解得y≈8秒；
所以昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A爬行捕捉到昆蟲(chóng)甲至少需8秒鐘．．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平面展開(kāi)圖的最短路徑問(wèn)題，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．