Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=1，∠B=30°，C是弦AB上一動點（不與A、B重合），連CO并延長交⊙O于點D，連AD．
（1）求弦AB長．
（2）當∠D=15°時，求∠BOD的度數．
（3）若△ACD與△BOC相似，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）過點O作OE⊥AB于E，由垂徑定理即可求得AB的長；
（2）連接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，則可求得∠DAB的度數，又由圓周角等于同弧所對圓心角的一半，即可求得∠DOB的度數；
（3）因為△ACD與△BOC相似，然后由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求得答案．

解答：解：（1）過點O作OE⊥AB于E，
則AE=BE=

1

2

AB，∠OEB=90°，
∵OB=1，∠B=30°，
∴BE=OB•cosB=1×

3

2

=

3

2

，
∴AB=

3

；
故答案為：

3

；
（2）連接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=15°，
∴∠DAB=45°，
∴∠BOD=2∠DAB=90°；
（3）
∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∵△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此時∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴∠D=30°
∴AC=

1

2

AB=

3

2

．

點評：此題考查了垂徑定理，圓周角的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．題目綜合性較強，解題時要注意數形結合思想的應用．