Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=OB，△OAB的面積是2．

（1）求線段OB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）連結(jié)AC，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，交AB于點(diǎn)D．

①直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

②連結(jié)CD，求證：∠ECO=∠DCB；

（3）點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)A.C.P.Q為頂點(diǎn)作菱形，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）線段OB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-1，0）；（2）①點(diǎn)E坐標(biāo)為：（-，）；②詳見解析；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（0，-2）.（-，2）.（，2），（-，2）

【解析】

（1）由OA=OB，△OAB的面積是2，可求得OB的長(zhǎng)度，由C為OB中點(diǎn)，即可得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①過點(diǎn)E作EF⊥OB，由，設(shè)EF=x，借助勾股定理即可求解；②過點(diǎn)B作OB的垂線，交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證△AOC≌△OBG，再證△BGD≌△BCD，再根據(jù)等量代換可證；

（3）以點(diǎn)C和點(diǎn)A 為圓心，以為半徑作圓和作AC的垂直平分線分情況討論求解即可．

解：（1）∵OA=OB，△OAB的面積是2．

∴OAOB=2，

∴OA=OB=2，

∴線段OB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-1，0），

（2）①過點(diǎn)E作EF⊥OB，

∵∠AOC=90°，OA=2，OC=1，

∴AC=，

∵OE⊥AC，由面積法得：OE===，

∵∠EOF+∠AOE=∠EAO+∠AOE=90°，

∴∠EOF=∠EAO，

∴tan∠EOF=tan∠EAO=，設(shè)EF=x，則OF=2x，

∴由勾股定理得：，

解得：x=，2x=，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為：（-，）．

②證明：過點(diǎn)B作OB的垂線，交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由（2）①可知，∠EOF=∠EAO，

∴在△AOC和△OBG中，

∴△AOC≌△OBG（ASA），

∴∠ECO=∠BGD，BG=OC，

∵C為線段OB的中點(diǎn)，

∴BG=BC，

∵OA=OB，∠AOC=∠OBG=90°，

∴∠GBD=∠CBD=45°，

∴在△BGD和△BCD中，

∴△BGD≌△BCD（SAS）

∴∠DCB=∠BGD，

又∠ECO=∠BGD，

∴∠ECO=∠DCB．

（3）∵AC=，

∴以點(diǎn)A為圓心，以為半徑作圓，與x軸可得一個(gè)交點(diǎn)P1（1，0），從而得Q1（0，-2）；

∴以點(diǎn)C為圓心，以為半徑作圓，與x軸可得兩個(gè)交點(diǎn)P2（-，0），P3（，0），從而得Q2（-，2），Q3（，2），

由tan∠ACO=2，可知，

當(dāng)以AC為菱形的對(duì)角線時(shí)，AC被另一條對(duì)角線垂直平分，

，從而另一條對(duì)角線P4Q4的一半為，從而P4C=，

∴P4（，0），Q4（-，2）

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（0，-2）．（-，2）．（，2），（-，2）．