Question

如圖，定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，M是ST的中點，P是S對AB作垂線的垂足，
求證：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．

Answer 1

解：連接OS、OT、OM．
∵M是ST的中點，
∴OM⊥ST．
又SP⊥AB，
∴S、P、O、M四點共圓，
∴∠SPM=∠SOM．
∵OS=OT，OM⊥ST，
∴∠SOM=∠SOT，
∴∠SPM=∠SOM=∠SOT．
故不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．
分析：首先根據(jù)垂徑定理的推論，得OM⊥ST，發(fā)現(xiàn)S、P、O、M四點共圓，則∠SPM=∠SOM，再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得∠SOM=∠SOT．
點評：此題綜合運用了垂徑定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理．