Question

如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點(diǎn)M在邊AB上，且AM=6．
（1）動點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動，且與點(diǎn)A，C均不重合，設(shè)CD=x．
①設(shè)△ABC與△ADM的面積之比為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；
②當(dāng)x取何值時，△ADM是等腰三角形？寫出你的理由．
（2）如圖2，以圖1中的為一組鄰邊的矩形中，動點(diǎn)在矩形邊上運(yùn)動一周，能使是M為頂角的等腰三角形共有多少個？（直接寫結(jié)果，不要求說明理由）

Answer 1

分析：（1）△ABC的面積易求，△ADM的面積應(yīng)利用相似比表示出AD及AD邊上的高，然后求出面積比值，△ADM是等腰三角形，兩腰是不確定的，所以應(yīng)分AM=DM，AM=AD，DM=AD來分別討論；
（2）M為頂角，那么AM=DM，只需作出M為圓心，MA=6為半徑的圓，看與矩形有幾個交點(diǎn)即可．

解答：解：（1）①∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴S_△ABC=30，AB=13，
過M作MH⊥AC于H，則MH∥BC，
∴

MH

BC

=

AM

AB

，
∴MH=

30

13

，
∵CD=x，
∴AD=12-x，
∴S_△ADM=

1

2

AD•MH=

1

2

×（12-x）×

30

13

=

15

13

（12-x），
∴y=

26

12-x

（0＜x＜12）；

②（i）當(dāng)AD=AM=6，即x=6時，△ADM為等腰三角形；
（ii）當(dāng)AM=MD時，AD=2AH．
∴AH=

AM2-MH2

=

72

13

，
∴AD=

144

13

，
即x=12-

144

13

=

12

13

時，△ADM為等腰三角形；
（iii）當(dāng)AD=MD時，
∵AD=12-x，AH=

72

13

，
∴HD=

72

13

-（12-x）=x-

84

13

，
∵M(jìn)H²+HD²=MD²，
∴（

30

13

）²+（x-

84

13

）²=（12-x）²，
解得：x=

35

4

時，△ADM為等腰三角形．

（2）4個．
（根據(jù)題意，以M為圓心，MA=6為半徑作圓，與AC、AE、BE三邊共有包括A點(diǎn)在內(nèi)的5個交點(diǎn)，所以符合條件的等腰三角形共有4個）

點(diǎn)評：一個三角形是等腰三角形，可讓其任意兩條邊相等分3種情況探討；確定頂角的等腰三角形，相應(yīng)的腰長也就確定，注意動手操作即可得到答案．