Question

已知：如圖，直線y=-x+2與兩坐標(biāo)軸分別交與點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1，m），將一塊三角板繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別與x軸、y軸相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E，圖①、圖②、圖③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況，請你研究：
（1）在圖①中，PE⊥y軸，則m=______，PE：PD的值等于______；
（2）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖②或圖③的位置時(shí)，請你猜想線段PE和PD之間有什么數(shù)量關(guān)系？并任選其中一個圖形加以證明；
（3）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PAD是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出點(diǎn)D坐標(biāo)所有的可能情況；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線y=-x+2與兩坐標(biāo)軸分別交與點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1，m），把點(diǎn)（1，m）代入直線y=-x+2求出m的值即可；由點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求出PE：PD的值；
（2）先根據(jù)圖形可猜測PD=PE，從而連接CP，通過證明△PCD≌△PEB，可得出結(jié)論．
（3）題目只要求是等腰三角形，所以需要分三種情況進(jìn)行討論，這樣每一種情況下的CE的長也就不難得出．
解答：解：（1）∵點(diǎn)（1，m）是直線y=-x+2上，
∴當(dāng)x=1時(shí)，m=1，
∴P（1，1），
∴PE：PD=1，
故答案為：1，1；

（2）∵點(diǎn)A、B分別是直線y=-x+2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，
∴A（2，0），B（0，2），
∵P（1，1），
∴點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，
∴OA=OB，∠C=90°，P為AB中點(diǎn)，連接OP，
∴OP平分∠AOB，OP⊥AB，
∵∠POB=∠PAD=45°，
∴OP=AP，
∵∠EPO+∠OPD=∠OPD+∠DPA=90°，
∴∠EPO=∠DPA，
在△POE和△PDA中，

∴△POE和△PDA（ASA），
∴PE=PD；

（3）能．
①當(dāng)PD=PA時(shí)，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，即D（0，0）；
②當(dāng)PA=AD時(shí)，E在線段BC上，CE=2-，即D（2-，0）；E在CB的延長線上，CE=2+，即D（2+，0）；
③當(dāng)PD=AD時(shí)，PD⊥x軸，即D（1，0）．
綜上所述點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），（2-，0），（2+，0），（1，0）．
點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．