Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點G在弧BD上，連接AG，交CD于點K，過點G的直線交CD延長線于點E，交AB延長線于點F，且EG=EK．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的長．

Answer 1

（1）證明：連接OG，
∵弦CD⊥AB于點H，
∴∠AHK=90°，
∴∠HKA+∠KAH=90°，
∵EG=EK，
∴∠EGK=∠EKG，
∵∠HKA=∠GKE，
∴∠HAK+∠KGE=90°，
∵AO=GO，
∴∠OAG=∠OGA，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∴GO⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：連接CO，在Rt△OHC中，
∵CO=13，CH=12，
∴HO=5，
∴AH=8，
∵AC∥EF，
∴∠CAH=∠F，
∴tan∠CAH=tan∠F==，
在Rt△OGF中，∵GO=13，
∴FG==．
分析：（1）連接OG，首先證明∠EGK=∠EKG，再證明∠HAK+∠KGE=90°，進而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，進而證明EF是⊙O的切線；
（2）連接CO，利用勾股定理計算出HO的長，然后可得tan∠CAH=tan∠F==，再利用三角函數(shù)在Rt△OGF中計算出FG的長．
點評：此題主要考查了切線的判定與三角函數(shù)的應用，關鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．