已知方程x2+a1x+a2a3=0與方程x2+a2x+ala3=0有且只有一個公共根．
求證：這兩個方程的另兩個根（除公共根外）是方程x2+a3x+a1a2=0的根．
證明：設(shè)方程x2+a1x+a2a3=0的兩根為α、β，
方程x2+a2x+ala3=0的兩根為α、γ，其中α為兩方程的公共根，
則α2+a1α+a2a3=0…①，α2+a2α+ala3=0…②，
①-②得（a1-a2）α+a3（a2-a1）=0，
因為兩個方程只有一個公共根，a1≠a2，解得α=a1，
有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：a3+β=-a1，a3β=a2a3，a3γ=a1a3，
所以β=a1，γ=a1，a1+a2+a3=0，
∵β2+a3β+a1a2=a22+a3•a2+a1a2=a2（a1+a2+a3）=0，
γ2+a3γ+a1a2=a12+a3•a1+a1a2=a1（a1+a2+a3）=0，
所以β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的兩根．
分析：設(shè)方程x2+a1x+a2a3=0的兩根為α、β，方程x2+a2x+ala3=0的兩根為α、γ，其中α為兩方程的公共根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a1+β=-a1，a1β=a2a3，a1γ=a1a3，然后解得β=a1，γ=a1，a1+a2+a3=0，若β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的根，則兩根代入，證明兩根代入后方程為0．
點評：本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出β=a1，γ=a1，a1+a2+a3=0這些關(guān)系，本題有點難度．
