Question

周長為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；若存在，請證明共有幾個？

Answer 1

【答案】分析：設存在如上的直角三角形，設兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)題意可得出關于a、b、c的方程，由勾股定理可判斷出c的取值范圍，進而求出c的值，把c的值代入不定方程即可求出b、c的值，找出符合條件的未知數(shù)的對應值即可．
解答：解：設存在如上的直角三角形，設兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，
∵a+b+c=6（1）；
a²+b²=c²（2）
∴（a+b）²=（6-c）²（3）
∵ab=9-3c為整數(shù)，
∴c為整數(shù)或以3為分母的分數(shù)；
∵直角三角形斜邊最長則有c＞2，根據(jù)三角形三邊邊長規(guī)律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c應為以3為分母的分數(shù)，c=或；
當c=時，根據(jù)（1）（2）式有：b=6或，a=-或，不合題意．
當c=時，根據(jù)（1）（2）式有：b=，a=或a=，b=，
∴這樣的直角三角形存在，恰有一個，兩條直角邊為與，斜邊為．
點評：本題考查的是非一次不定方程及勾股定理，根據(jù)題意判斷出c的值是解答此題的關鍵．