Question

正方形的A₁B₁P₁P₂頂點P₁、P₂在反比例函數y=

2

x

 （x＞0）的圖象上，頂點A₁、B₁分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側作正方形P₂P₃A₂B₂，頂點P₃在反比例函數y=

2

x

 （x＞0）的圖象上，頂點A₂在x軸的正半軸上，則點P₃的坐標為

 

．

Answer 1

分析：作P₁C⊥y軸于C，P₂D⊥x軸于D，P₃E⊥x軸于E，P₃F⊥P₂D于F，設P₁（a，

2

a

），則CP₁=a，OC=

2

a

，易得Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，則OB₁=P₁C=A₁D=a，所以OA₁=B₁C=P₂D=

2

a

-a，則P₂的坐標為（

2

a

，

2

a

-a），然后把P₂的坐標代入反比例函數y=

2

x

，得到a的方程，解方程求出a，得到P₂的坐標；設P₃的坐標為（b，

2

b

），易得Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，則P₃E=P₃F=DE=

2

b

，通過OE=OD+DE=2+

2

b

=b，這樣得到關于b的方程，解方程求出b，得到P₃的坐標．

解答：解：作P₁C⊥y軸于C，P₂D⊥x軸于D，P₃E⊥x軸于E，P₃F⊥P₂D于F，如圖，
設P₁（a，

2

a

），則CP₁=a，OC=

2

a

，
∵四邊形A₁B₁P₁P₂為正方形，
∴Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，
∴OB₁=P₁C=A₁D=a，
∴OA₁=B₁C=P₂D=

2

a

-a，
∴OD=a+

2

a

-a=

2

a

，
∴P₂的坐標為（

2

a

，

2

a

-a），
把P₂的坐標代入y=

2

x

 （x＞0），得到（

2

a

-a）•

2

a

=2，解得a=-1（舍）或a=1，
∴P₂（2，1），
設P₃的坐標為（b，

2

b

），
又∵四邊形P₂P₃A₂B₂為正方形，
∴Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，
∴P₃E=P₃F=DE=

2

b

，
∴OE=OD+DE=2+

2

b

，
∴2+

2

b

=b，解得b=1-

3

（舍），b=1+

3

，
∴

2

b

=

2

1+ 3

=

3

-1，
∴點P₃的坐標為 （

3

+1，

3

-1）．
故答案為：（

3

+1，

3

-1）．

點評：本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特點為橫縱坐標之積為定值；也考查了正方形的性質和三角形全等的判定與性質以及解分式方程的方法．