Question

隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高．某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹(shù)木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)y₁與投資量x成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤(rùn)y₂與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）
（1）分別求出利潤(rùn)y₁與y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)，他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)=樹(shù)木利潤(rùn)+花卉利潤(rùn)，列出函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最值．
解答：解：（1）設(shè)y₁=kx，由圖①所示，函數(shù)y₁=kx的圖象過(guò)（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利潤(rùn)y₁關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y₁=2x，
∵該拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，
∴設(shè)y₂=ax²，
由圖②所示，函數(shù)y₂=ax²的圖象過(guò)（2，2），
∴2=a•2²，，
故利潤(rùn)y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是：y=x²；

（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬(wàn)元（0≤x≤8），則投入種植樹(shù)木（8-x）萬(wàn)元，他獲得的利潤(rùn)是z萬(wàn)元，根據(jù)題意，
得z=2（8-x）+x²=x²-2x+16=（x-2）²+14，
當(dāng)x=2時(shí)，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴-2≤x-2≤6，
∴（x-2）²≤36，
∴（x-2）²≤18，
∴（x-2）²+14≤18+14=32，
即z≤32，此時(shí)x=8，
答：當(dāng)x=8時(shí)，z的最大值是32．
點(diǎn)評(píng)：本題第（1）個(gè)問(wèn)題是已知一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式，觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知，前者是正比例函數(shù)，后者是二次函數(shù)，頂點(diǎn)是（0，0），利用待定系數(shù)法，先設(shè)兩個(gè)函數(shù)的解析式，再將P（1，2），Q（2，2）代入相應(yīng)的解析式求出參數(shù)即可；第（2）個(gè)問(wèn)題是已知自變量的取值范圍求二次函數(shù)的最值，屬于二次函數(shù)的條件最值問(wèn)題．這類試題一般先將函數(shù)解析式配方，將函數(shù)解析式變成頂點(diǎn)形式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程，結(jié)合自變量的取值范圍，畫(huà)出函數(shù)圖象（拋物線的一部分），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性、開(kāi)口方向，確定函數(shù)的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，這種解題方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的思想，它的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，避免死記公式．