求方程7x+19y=213的所有正整數(shù)解.
解:用方程
7x+19y=213①
的最小系數(shù)7除方程①的各項,并移項得
x=

=30-2y+

②
因為x,y是整數(shù),故3-5y/7=u也是整數(shù),于是5y+7u=3.則
y=

③,
令

=v,則2u+5v=3.④
由觀察知u=-1,v=1是方程④的一組解.將u=-1,v=1代入③得y=2.y=2,
代入②得x=25.于是方程①有一組解x
0=25,y
0=2,
所以它的一切解為

,
由于要求方程的正整數(shù)解,所以

,
解不等式得t只能取0,1,因此得原方程的正整數(shù)解為:

和

.
分析:首先把原方程中的y用含x的式子表示為,再根據(jù)解是整數(shù)分別討論解的值.
點評:本題考查了二元一次方程的解法,此題運用輾轉(zhuǎn)法求解,難度比較大.